Hallemos el conjunto de ceros: $2 e^{x}+1=0$ $2 e^{x}=-1$ $e^{x}=-\frac{1}{2}$ $x=\ln \left(-\frac{1}{2}\right)$ Esto es absurdo, pues no existen los logaritmos de números negativos. • $C^{0} = \emptyset$

Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa. Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función: $f(0)=2 e^{0}+1=3$ Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • $C^{+} = \Re$ • $C^{-} = \emptyset$ Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio: $\begin{gathered} e^{x}+1=y \\ e^{x}=y-1 \\ x=\ln (y-1) \\ y^{-1}=\ln (x-1) \end{gathered}$ Para hallar su dominio, analizamos el argumento. $x-1>0$ $x>1$ $Domf^{-1} = (1 ;+\infty)$ • $Imf =(1 ;+\infty)$ Asíntotas verticales: No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio. • No hay AV Asintotas Horizontales:

$\lim _{x \rightarrow \infty} 2 e^{x}+1=\infty$ Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 e^{x}+1=2 e^{-\infty}+1=2\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)+1=2\left(\frac{1}{\infty}\right)+1=2(0)+1=1$

 • Hay AH en $y=1$ por izquierda